6 Annexe

Lemme de densité. 1
Pour tout sous-ensemble $\mathcal{M}$ d'un espace de Hilbert $\H$, vect$(\mathcal{M})$ est dense dans $\H$ si et seulement si $\mathcal{M}^{\perp}=\{0\}$.

Proof. Soit $x\in\mathcal{M}^\bot$ et supposons que $\mathcal{V}=$vect$(\mathcal{M})$ soit dense dans $\H$. Alors $x\in\overline{\mathcal{V}}=\H$. Comme $x\in\overline{\mathcal{V}}$, il existe une suite $(x_n)$ d'éléments de $\mathcal{V}$ convergente vers $x$. Or $x\in\mathcal{M}^\perp$ et $\mathcal{M}^\perp \perp \mathcal{V}$ donc $<x_n,x>$=0. Le produit scalaire étant continu on a:

$$<x_n,x>\xrightarrow[n\longrightarrow \infty]{}<x,x>$$

Par suite $<x,x>=\Vert x\Vert=0$ donc $x=0$. $x$ étant quelconque dans $\mathcal{M}^\perp$ ceci montre que $\mathcal{M}^\perp=\{0\}$.
Réciproquement, supposons que $\mathcal{M}^\bot=\{0\}$. Si $x\bot \mathcal{V}$, alors en particulier $x\bot \mathcal{M}$. C'est à dire $x\in\mathcal{M}^\bot$ donc $x=0$. Ainsi $\mathcal{V}^\bot=\{0\}$. Comme $\overline{\mathcal{V}}$ est un sous-espace fermé de $\H$ on a $\H=\overline{\mathcal{V}}\oplus\overline{\mathcal{V}}^\bot$. Or $\mathcal{V}\subset \overline{\mathcal{V}}$ donc $\overline{\mathcal{V}}^\bot\subset \mathcal{V}^\bot$. Par conséquent $\overline{\mathcal{V}}^\bot=\{0\}$ et $\overline{\mathcal{V}}=\H$. $\qedsymbol$

Théorème de Totalité. 1
Soit $\mathcal{M}$ un sous-ensemble d'un espace pré-hilbertien $\mathcal{X}$. Alors:

Si $\mathcal{M}$ est total dans $\mathcal{X}$, alors il n'existe pas d'élément non nul $x\in\mathcal{X}$ orthogonal a tout élément de $\mathcal{M}$. Autrement dit :

$$x\perp \mathcal{M}\Longrightarrow x=0$$

Proof. Soit $\H$ le complété de $\mathcal{X}$. Alors vu comme sous-espace de $\H$, $\mathcal{X}$ est dense dans $\H$. Par hypothèse, $\mathcal{M}$ est total dans $\mathcal{X}$. Ainsi vect$(\mathcal{M})$ est dense dans $\mathcal{X}$ donc aussi dans $\H$. Le lemme de densité implique maintenant que le complémentaire orthogonal de $\mathcal{M}$ dans $\H$ est $\{0\}$.A fortiori, si $x\in\mathcal{X}$ et $x\perp\mathcal{M}$ alors $x=0$. $\qedsymbol$