5 Application à la Théorie Spectrale

Nous avons vu précédemment une première application du théorème de Hahn-Banach lors de la preuve du théorème 2.2.2, où il est montré que

$$\Vert T^\times \Vert=\Vert T\Vert.$$

On propose maintenant une autre application, précédée des définitions préliminaires à sa compréhension.

Je me suis demandé, en rédigeant ce mémoire, s'il était possible de passer outre le Théorème de Hahn-Banach pour cette application en rajoutant des hypothèses sur l'espace de Banach $\mathcal{X}$. La première qui m'est venue à l'esprit fut de prendre $\mathcal{X}$ réflexif, mais la construction de l'isomorphisme canonique entre $\mathcal{X}$ et $\mathcal{X}^{\times\times}$, le biadjoint, nécessite aussi l'utilisation du théorème de Hahn-Banach. Et finalement, la structure Hilbertienne est suffisante pour obtenir cela.

La question consistant à savoir, si on peut se passer de Hahn-Banach pour prouver ce théorème, est-on alors dans un espace de Hilbert, ne me semble pas dénuée d'intérêt. Peut-être la réponse mènerait-elle à construire des espaces qui sont ``un peu plus'' que les Banach, et un ``peu moins'' que les Hilberts. Mais la question elle-même est peut-être mal formulée.

On note $\L (X)$ l'ensemble des opérateurs linéaires continus de $\mathcal{X}$ dans $\mathcal{X}$ où $\mathcal{X}$ désignera toujours un espace de Banach.

Sauf précision contraire, $<\cdot,\cdot>$ désignera un crochet de dualité.

L'Ensemble Résolvant. 0.1
L'ensemble résolvant de $T\in\L (\mathcal{X})$ est :

$${\rm re}(T):=\left\{z\in{\ \rlap{\raise 0.4ex \hbox{$\scriptscriptstyle \vert$}}\hskip -0.2em C}: T-zI \text{ est bijectif }\right\}.$$

Résolvante de $T$ en $z$. 0.2
Si $z\in{\rm re}(T)$, l'opérateur défini par

$$R(T,z):=(T-zI)^{-1}$$

, est appelé résolvante de $T$ en $z$.

Spectre. 0.3
On appelle spectre ⁸ de $T$ l'ensemble

$${\rm sp}(T):={\ \rlap{\raise 0.4ex \hbox{$\scriptscriptstyle \vert$}}\hskip -0.2em C}\backslash{\rm re}(T).$$

Ensemble Spectral. 0.4
Soit $\Lambda\subset{\rm sp}(T)$.
$\Lambda$ est appelé ensemble spectral de $T$ si

$$\Lambda$$    et  $$sp(T)\backslash\Lambda$$    sont des fermés de $${\ \rlap{\raise 0.4ex \hbox{$\scriptscriptstyle \vert$}}\hskip -0.2em C}.$$

On montre que ceci est équivalent à dire que $\Lambda$ est un connexe de ${\rm sp}(T)$. Pour montrer cela, on démontre que ${\rm re}(T)$ est un ouvert de ${\ \rlap{\raise 0.4ex \hbox{$\scriptscriptstyle \vert$}}\hskip -0.2em C}$, ce qui provient directement de la structure d'algèbre de Banach de $\L (\mathcal{X})$.

Définition. 0.5
$\Gamma$ est une courbe de Jordan si et seulement si elle est rectifiable, simple et fermée.
$E$ est un domaine élémentaire de Cauchy si et seulement E est un ouvert borné connexe de ${\ \rlap{\raise 0.4ex \hbox{$\scriptscriptstyle \vert$}}\hskip -0.2em C}$ et que sa frontière est réunion d'un nombre fini de courbes de Jordan disjointes.

Figure: La partie hachurée est un domaine élémentaire de Cauchy

$E$ est un domaine de Cauchy si et seulement si il est réunion finie de domaines élémentaires de Cauchy dont les adhérences sont disjointes. La frontière $C$ d'un domaine de Cauchy $E$,orientée de telle sorte que $E$ se retrouve à gauche de la courbe s'appelle un contour de Cauchy. Ainsi dans la figure 3.1 $\Gamma_1\cup\Gamma_2$ est un contour de Cauchy. L'ensemble

$${\rm int}(C):=D$$

est appelé l'intérieur de $C$ et l'ensemble

$${\rm ext}(C)={\ \rlap{\raise 0.4ex \hbox{$\scriptscriptstyle \vert$}}\hskip -0.2em C}\backslash(D\cup C)$$

est appelé l'extérieur de $C$.
Soit $C$ un contour de Cauchy. Si $E$ et $\widetilde{E}$ sont des sous-ensembles de ${\ \rlap{\raise 0.4ex \hbox{$\scriptscriptstyle \vert$}}\hskip -0.2em C}$ tels que $E\subset{\rm int}(C)$ et $\widetilde{E}\subset{\rm ext}(C)$ alors on dit que $C$ sépare $E$ de $\widetilde{E}$.

Théorème. 0.6
Si E est un sous-ensemble compact de ${\ \rlap{\raise 0.4ex \hbox{$\scriptscriptstyle \vert$}}\hskip -0.2em C}$ contenu dans un ouvert $\Omega$, alors il existe un domaine de Cauchy $D$ tel que $E$ soit un sous-ensemble de $D$ et l'adhérence de $D$ un sous-ensemble de $\Omega$.

Corollaire. 0.7
Soit $E$ un sous-ensemble compact de ${\ \rlap{\raise 0.4ex \hbox{$\scriptscriptstyle \vert$}}\hskip -0.2em C}$ et $\widetilde{E}$ un sous-ensemble fermé de $C$. Si $E\cap\widetilde{E}=\emptyset$, alors il existe un contour de Cauchy séparant $E\cup C$ de $\widetilde{E}$, et il existe un contour de Cauchy séparant $E$ de $\widetilde{E}\cup C.$

Corollaire. 0.8
Soit $T$ un opérateur linéaire borné de $\mathcal{X}$ dans $\mathcal{X}$ et $\Lambda$ un ensemble spectral de $T$. Alors d'après le corollaire précédent, il existe un contour de Cauchy $C$ qui sépare $\Lambda$ de ${\rm sp}(T)\backslash\Lambda$.
Si $\Lambda$ est un ensemble spectral de $T$, l'ensemble des contours de Cauchy séparant $\Lambda$ de ${\rm sp}(T)\backslash\Lambda$ sera noté $\mathcal{C}(T,\Lambda)$.

Pour un ensemble spectral $\Lambda$ de $T$ et $C\in\mathcal{C}(T,\Lambda)$, on définit

$$P(T,\Lambda):=-\frac{1}{2\pi i}\int_C R(T,z)dz.$$

Proposition. 0.9
Soit $\Lambda$ un ensemble spectral de $T$. Alors $P(T,\lambda)$ est un projecteur continu qui commute avec $T$.

Proof.

Figure 3.2: Situation

$\widetilde{C}$ joue le même rôle que $C$ tout en laissant $C$ dans son intérieur, ainsi

$$P^2 = \left(\frac{-1}{2\pi i}\right)\left(\frac{-1}{2\pi i}\right)\int_{\widetilde{C}}R(T,\widetilde{z})d\widetilde{z}\int_C R(T,z)dz$$

$$= \frac{-1}{4\pi^2}\int_{\widetilde{C}}\int_C R(T,\widetilde{z})R(T,z)dz d\widetilde{z}$$

$$= \frac{1}{4\pi^2}\int_{\widetilde{C}}\int_C \frac{1}{z-\widetilde{z}}(R(T,\widetilde{z})-R(T,z))dz d\widetilde{z}$$

$$= \frac{1}{4\pi^2}\underbrace{\int_{\widetilde{C}}\int_C R(\widetil... ...\pi^2}\int_{\widetilde{C}}\int_C \frac{1}{z-\widetilde{z}} R(z)dzd\widetilde{z}$$

or

$$-\frac{1}{4\pi^2}\int_{\widetilde{C}}\int_C R(z)dzd\widetilde{z}=... ...brace{\int_{\widetilde{C}}\frac{1}{z-\widetilde{z}} d\widetilde{z}}_{=-2i\pi}dz$$

Donc on réobtient $P$. $T$ commute avec $R(T,z)$ et $P$ est une limite de sommes de Riemann de $z\in{\ \rlap{\raise 0.4ex \hbox{$\scriptscriptstyle \vert$}}\hskip -0.2em C}\longrightarrow R(t,z)\in\L (B)$. Comme $T$ est continu, $T\lim(\ )=\lim T(\ )$. $\qedsymbol$

Espace Annihilateur. 0.10
Si $E\subset\mathcal{X}$, on appelle espace annihilateur de $E$ le sous-ensemble de $\mathcal{X}^*$ suivant :

$$E^\bot=\left\{f\in\mathcal{X}^* : \forall x \in E,\ <x,f>=0 \right\},$$

où $<x,f>$ est défini comme en (2.1).

Lemme. 0.11
Soient $\mathcal{X}$ et $\mathcal{Y}$ deux espaces de Banach complexes et $T:\mathcal{X}\longrightarrow \mathcal{Y}$ un opérateur linéaire. Alors

$$T(\mathcal{X})^\bot=\ker(T^\times ).$$

Proof. [Preuve du lemme]  
Soit $g\in T(\mathcal{X})^\bot$ alors pour tout $y\in T(\mathcal{X})$ on a

$$<y,g>=0,$$

c'est dire

$$g(Tx)=(T^\times g)(x)=0$$    pour tout $$x\in\mathcal{X}.$$

Donc $g\in\ker(T^\times )$.
Réciproquement, soit $g\ker(T^\times )$, on a $T^\times f=0$ donc

$$(T^\times g)(x)=g(Tx)=0$$    pour tout $$x\in\mathcal{X}.$$

Posant $y=Tx$, on obtient

$$g(y)=0$$    pour tout $$y\in T(\mathcal{X}),$$

i.e $g\in T(\mathcal{X})^\bot$. $\qedsymbol$

Lemme. 0.12
Soit $\mathcal{X}$ un espace de Banach, et $\mathcal{M}$ un sous-espace vectoriel de $\mathcal{X}$ vérifiant $\mathcal{M}^\bot=\{0\}$. Alors $\mathcal{M}$ est dense dans $\mathcal{X}$.

Proof. On procède par contra-posée. Supposons que

$$\overline{\mathcal{M}}\neq \mathcal{X}.$$ (38)

Comme $\overline{\mathcal{M}}$ est un sous-espace vectoriel, alors d'après 1.1.4 il admet une base $B=\{e_j,\ j\in J\}$. D'après (3.1) cette base n'est pas maximale. Il existe donc $x_0\in\mathcal{X}$ tel que

$$\overline{\mathcal{M}}\subsetneq{\rm vect}(\mathcal{M}\cup \{x_0\}).$$

Soit

$$f:{\rm vect}(\overline{\mathcal{M}}\cup \{x_0\}) \longrightarrow { I\!\!R}$$

$$x=\alpha x_0+\sum_{j\in J}\alpha_j e_j \longmapsto \alpha\Vert x_0\Vert$$

Cette application envoie $\overline{\mathcal{M}}$ sur 0 et est de norme $1$. Elle vérifie $f(x_0)=\Vert x_0\Vert$ et $\vert f(x)\vert\leq \Vert x\Vert$ pour tout $x\in{\rm vect}(\overline{\mathcal{M}}\cup \{x_0\})$. Alors d'après le théorème 1.2.4 il existe un prolongement $\widetilde{f}$ de $f$ à $\mathcal{X}$ ayant les mêmes propriétes. Cette application est une élément du dual envoyant $\overline{\mathcal{M}}$ sur 0. Ainsi

$$\mathcal{M}^\bot\supset\{\widetilde{f}\}\neq\{0\}$$

.

$\qedsymbol$

Théorème. 0.13
Soit $\mathcal{X}$ un espace de Banach complexe et $T:\mathcal{X}\longrightarrow \mathcal{X}$ un opérateur linéaire borné. Alors

1. $$\forall z\in{\ \rlap{\raise 0.4ex \hbox{$\scriptscriptstyle \vert... ...2em C},\ z\in{\rm re}(T) \Longleftrightarrow \overline{z}\in{\rm re}(T^\times)$$
   et
   $$\forall z\in{\rm re}(T),\ R(T^\times,\overline{z})=R(T,z)^\times.$$

2. Soit $\Lambda$ un sous-ensemble de ${\ \rlap{\raise 0.4ex \hbox{$\scriptscriptstyle \vert$}}\hskip -0.2em C}$.
   $\Lambda$ est un ensemble spectral de $T$ si et seulement si $\overline{\Lambda}$ est un ensemble spectral de $T^\times$. On a alors
   $$P(T^\times,\overline{\Lambda})=P(T,\Lambda)^\times.$$

Proof.  
a) Soit $z\in{\rm re}(T)$. On a:

$$\left((T-zI)(T-zI)^{-1}\right)^\times=I^\times=I$$ (39)

$$= ((T-zI)^{-1})^\times(T-zI)^\times$$ (40)

$$= ((T-zI)^\times)^{-1}(T-zI)^\times$$ (41)

$$= (T^\times -\overline{z}I^\times)^{-1}(T^\times -\overline{z}I^\times).$$ (42)

On obtient ainsi $\overline{z}\in{\rm re}(T^\times )$ car $T^\times -\overline{z}I$ est inversible et également $R(T^\times ,\overline{z})=R(T,z)^\times$.
Réciproquement, soit $\overline{z}\in{\rm re}(T)$. L'opérateur $T^\times -\overline{z}I^\times$ est alors bijectif, donc injectif. Alors d'après le lemme 3.0.11, on a :

$$\{0\}=\ker(T^\times -\overline{z}I^\times)=(T-zI)(\mathcal{X})^\bot.$$

Le sous-espace $(T-zI)(\mathcal{X})$ est dense d'après le lemme 3.0.12. Considérons alors $x\in\mathcal{X}$. D'après le théorème 1.2.5 il existe $f\in\mathcal{X}^\times$ telle que $<x,f>=\Vert x\Vert$ et $\Vert f\Vert=1$. Alors

$$\begin{array}{rcl} \Vert x\Vert=<x,f>&=&<x,(T^\times -\overline{z... ...q&\Vert(T-zI)x\Vert\Vert(T^\times -\overline{z}I^\times)^{-1}\Vert. \end{array}$$

L'opérateur $T-zI$ est donc injectif. Comme $(T-zI)(\mathcal{X})$ est un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel complet, il est complet, donc il est fermé. Comme de plus il est dense, on obtient

$$(T-zI)(\mathcal{X})=\mathcal{X}.$$

Ainsi $T-zI$ est surjectif et donc bijectif. On a obtenu

$$z\in{\rm re}(T).$$

b) D'après a) on sait

$${\rm sp}(T^\times )=\left\{\overline{\lambda},\ \lambda\in{\rm sp}(T)\right\}.$$

Par conséquent, un sous-ensemble $\Lambda$ de ${\ \rlap{\raise 0.4ex \hbox{$\scriptscriptstyle \vert$}}\hskip -0.2em C}$ est un ensemble spectral si et seulement si $\overline{\Lambda}$ est un ensemble spectral pour $T^\times$. Pour toute courbe de Jordan $\Gamma:[a,b]\longrightarrow {\ \rlap{\raise 0.4ex \hbox{$\scriptscriptstyle \vert$}}\hskip -0.2em C}$, on définit la courbe de Jordan conjuguée par

$$\Gamma^\times(t):=\overline{\Gamma(a+b-t)}$$ pour tout  $$t\in[a,b].$$

$$\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma^\times}R(T^\times ,z)dz = \frac{1}{2\pi i}\int_a^b R\left(T^\times ,\overline{\Gamma(a+b-t)}\right)d\overline{\Gamma(a+b-t)}$$

$$= -\frac{1}{2\pi i}\int_a^b R\left(T^\times ,\overline{\Gamma(s)}\right)d\overline{\Gamma(s)}$$

$$= -\frac{1}{2\pi i}\int_a^b R(T,\Gamma(s))^\times d\overline{\Gamma(s)}$$

$$= \left(\frac{1}{2\pi i}\int_a^b R(T,\Gamma(s))d\Gamma(s)\right)^\times$$

$$= \left(\frac{1}{2\pi i}\int_\Gamma R(T,z)dz\right)^\times.$$

On a effectué le changement de variable $s:=a+b-t$ pour $t\in[a,b]$.

Soit $C$ in $\mathcal{C}(T,\Lambda)$ et notons $C^\times$ le contour de Cauchy entourant $C$ et sa courbe conjuguée. Alors $\overline{\Gamma}\subset{\rm int}(C^\times)$ et ${\rm sp}(T^\times )\backslash\overline{\Gamma}\subset{\rm ext}(C^\times)$, ainsi $C^\times\in\mathcal{C}(T^\times ,\overline{\Lambda})$. On obtient alors

$$P(T^\times,\overline{\Lambda}) = -\frac{1}{2\pi i}\int_{C^\times}R(T^\times ,z)dz$$

$$= \left(-\frac{1}{2\pi i}\int_C R(T,z)dz\right)^\times$$

$$= P(T,\Lambda)^\times.$$

$\qedsymbol$