1 L'Espace Adjoint Topologique

Soit $\mathcal{X}$ un espace de Banach sur le corps ${I\!\!K}={\ \rlap{\raise 0.4ex \hbox{$\scriptscriptstyle \vert$}}\hskip -0.2em C}$ ou ${ I\!\!R}$. Nous dirons que $f$ est une fonctionnelle antilinéaire, si $f:\mathcal{X}\longrightarrow {I\!\!K}$ est telle que :

$$\forall (x,y;c)\in\mathcal{X}^2\times{I\!\!K}, f(cx+y)=\overline{c}f(x)+f(y)).$$

L'ensemble constitué de toutes les fonctionnelles antilinéaires continues sur $\mathcal{X}$ est appelé espace adjoint topologique de $\mathcal{X}$ et est noté $\mathcal{X}^*$. ⁷

L'application suivante :

$$\mathcal{X}\times \mathcal{X}^* \longrightarrow {\ \rlap{\raise 0.4ex \hbox{$\scriptscriptstyle \vert$}}\hskip -0.2em C}\notag$$ (11)

$$(x,f) \longmapsto \langle x,f\rangle:=\overline{f(x)}$$ (12)

est linéaire par rapport à $x$ et antilinéaire par rapport à $f$. En effet on a, pour $\lambda\in{\ \rlap{\raise 0.4ex \hbox{$\scriptscriptstyle \vert$}}\hskip -0.2em C},(x,y)\in\mathcal{X}^2,(f,g)\in{\mathcal{X}^{*}}^2$,

$$\begin{array}{ccllc} \langle x +\lambda y,f\rangle & = & \ove... ...gle x,f\rangle+\overline{\lambda}\langle ,g\rangle. \end{array}$$

$f:\mathcal{X}\longrightarrow {I\!\!K}$, antilinéaire, est continue en $x\in\mathcal{X}$ si et seulement si pour toute suite $(x_n)_{n\in{ I\!\!N}}$ de limite $x$ on a

$$f(x_n) \xrightarrow[n\longrightarrow +\infty] f(x).$$

Ce qui est successivement équivalent à

$$\begin{array}{rccc} & f(x_n)-f(x) & \xrightarrow[n\longright... ...ha_n) & \xrightarrow[n\longrightarrow +\infty] & 0. \end{array}$$

où $\alpha_n=x_n-x\xrightarrow[n\longrightarrow +\infty]{}0$. Ainsi $f$ est continue en $x$ si et seulement si $f$ est continue en 0.
Soit $(a_n)_{n\in{ I\!\!N}}$ une suite convergente d'éléments de $\mathcal{X}$. Comme cette suite est convergente, elle est bornée, c'est à dire à valeurs dans un compact. $f$ étant continue, l'image de ce compact par $f$ est un compact. Ce dernier est borné car $f$ est à valeur dans un espace métrique. Ceci est vrai en particulier si $a_n\in\overline{B(0,1)}$ pour tout $n$. Ainsi,

$$f \Longrightarrow \exists M>0, \forall x\in\overline{B(0,1)}\ \vert f(x)\vert\leq M.$$ (13)

L'inégalité dans (2.2) donne immédiatement, en utilisant le fait que $f$ est antilinéaire, la continuité de $f$ en 0. Il suffit pour cela de multiplier les deux membres de l'inégalité par la norme d'une suite de limite nulle. Désignons par $(\eta_n)_{n\in{ I\!\!N}}$ une telle suite. On obtient

$$\vert f(x)\vert\Vert\eta_n\Vert\leq M\Vert\eta_n\Vert\Longleftrig... ...f(x\Vert\eta_n\Vert)\vert\leq M\eta_n\xrightarrow[n\longrightarrow +\infty]{}0,$$

d'où le résultat.
On définit alors la norme suivante sur $\mathcal{X}^*$ grâce à 2.2 :

$$\Vert f\Vert:=\sup_{\Vert x\Vert\leq 1}\{\vert f(x)\vert\}=\inf\{M>0:\forall x\in\overline{B(0,1)},\vert f(x)\vert\leq M\}$$ (14)

Par conséquent,

$$\forall x\in\mathcal{X},\ \vert f(x)\vert\leq \Vert f\Vert\Vert x\Vert.$$ (15)

L'espace $\mathcal{X}^*$ est complet :

Soit $(f_n)_{n\in{ I\!\!N}}$ une suite de Cauchy dans $\mathcal{X}^*$. Ceci signifie que :

$$(\forall\varepsilon>0)(\exists n_0\in{ I\!\!N})[\forall (n,m)\in{ I\!\!N}^2, (m\geq n_0$$ et $$n\geq n_0)\Longrightarrow \Vert f_n-f_m\Vert\leq \varepsilon].$$

L'inégalité $\Vert f_n-f_m\Vert\leq \varepsilon$ signifie

$$\sup\{\vert(f_n-f_m)(x)\vert,\Vert x\Vert\leq 1,m\geq n\geq n_0 \}\leq \varepsilon,$$

c'est à dire

$$\sup\{\vert f_n(x)-f_m(x)\vert,\Vert x\Vert\leq 1,m\geq n\geq n_0 \}\leq \varepsilon.$$

Ainsi pour tout $x$ vérifiant $\Vert x\Vert\leq 1$ la suite $(f_n(x))_{n\in{ I\!\!N}}$ est une suite de Cauchy dans ${\ \rlap{\raise 0.4ex \hbox{$\scriptscriptstyle \vert$}}\hskip -0.2em C}$ qui est complet. Cette suite est donc convergente; on pose

$$f(x)=\lim_{n\longrightarrow +\infty}f_n(x).$$

Il est clair que $f$ ainsi définie est antilinéaire. Montrons maintenant que $f$ est continue. Comme $f$ est antilinéaire, il faut et il suffit de montrer qu'elle est bornée sur la boule unité fermée. Comme $(f_n)_{n\in{ I\!\!N}}$ est de Cauchy, elle est bornée. Il existe donc $M>0$ tel que pour tout $n\in{ I\!\!N}$ et tout $x\in\overline{B(0,1)}$ on ait

$$\vert f_n(x)\vert\leq M.$$

En faisant tendre $n$ vers $+\infty$ on obtient que $\Vert f(x)\Vert\leq M$ pour tout $x\in\overline{B(0,1)}$. Ainsi $f$ est bornée sur la boule unitée fermée, donc $f$ est continue. Soit $\varepsilon>0$, puisque la suite $(f_n)_{n\in{ I\!\!N}}$ est de Cauchy, il existe $n_0\in{ I\!\!N}$ tel que pour tout $n,m$ entiers vérifiant $n\geq n_0$ et $m\geq n_0$ et tout $x$ de $\overline{B(0,1)}$ on ait :

$$\vert f_n(x)-f_m(x)\vert\leq \varepsilon.$$

En faisant tendre $m$ vers $+\infty$ on obtient que pour tout $n\geq n_0$ et pour tout $x$ de $\overline{B(0,1)}$,

$$\vert f_n(x)-f(x)\vert\leq \varepsilon,$$

donc

$$\Vert f_n-f\Vert\leq \varepsilon.$$

Ainsi $f_n$ converge vers $f$ pour la norme définie sur $\mathcal{X}^*$.

Dans ce qui précède, la propriété essentielle utilisée de ${\ \rlap{\raise 0.4ex \hbox{$\scriptscriptstyle \vert$}}\hskip -0.2em C}$ a été sa complétude. En fait, cette discussion reste la même si l'espace d'arrivée est un espace de Banach quelconque, ainsi on a obtenu le

Théorème. 1.1
Si $\mathcal{X}$ et $\mathcal{Y}$ sont des espaces vectoriels normés sur ${I\!\!K}={ I\!\!R}$ ou ${\ \rlap{\raise 0.4ex \hbox{$\scriptscriptstyle \vert$}}\hskip -0.2em C}$, l'ensemble des applications linéaires continues de $\mathcal{X}$ dans $\mathcal{Y}$ noté $\L (\mathcal{X},\mathcal{Y})$ est un ${I\!\!K}-$espace vectoriel pouvant être muni de la norme :

$$\Vert f\Vert _{\L (\mathcal{X},\mathcal{Y})}=\sup\{\Vert f(x)\Vert _{\mathcal{Y}},\Vert x\Vert _{\mathcal{X}}\leq 1\}.$$

De plus $\L (\mathcal{X},\mathcal{Y})$ est complet pour cette norme si $\mathcal{Y}$ est complet. Ce résultat reste valable pour les applications antilinéaires continues.