4 Relation entre l'opérateur adjoint $T^\times$ et l'opérateur adjoint $T^*$ dans un espace de Hilbert

La situation est la suivante :

$$\xymatrix @H=0pt{ \H_1 \ar@<1mm>[rr]^T & & \H_2 \ar@<1mm>[ll]^{T^*} \\ \H_1^* \ar[u]^{A_1} & & \H_2^* \ar[ll]^{T^\times} \ar[u]_{A_2} }$$ (33)

Soit $T:\H_1\longrightarrow \H_2$ un opérateur linéaire continu. L'opérateur $T^\times:{\H_2}^*\longrightarrow {\H_1}^*$ est défini par :

$$f=T^\times g=g\o T$$ (34)

Comme $f$ et $g$ sont définies sur un espace de Hilbert, il existe via le théorème 2.3.1 $x_0$ et $y_0$ tels que pour tout $x\in\H_1$ et pour tout $y\in\H_2$ on ait :

$$f(x) = \langle x_0,x \rangle,$$ (35)

$$g(y) = \langle y_0,y \rangle.$$ (36)

De plus $x_0$ et $y_0$ sont déterminés de manière unique par $f$ et $g$ respectivement. Cela définit les opérateurs $A_1$ et $A_2$ du diagramme (2.22) qui sont des bijections isométriques. Ainsi

$$A_1f=x_0$$    et $$\quad A_2g=y_0.$$

$A_1$ et $A_2$ sont linéaires. Pour voir cela, prenons $(f_1,f_2)\in{\H_1}^*\times{\H_1}^*$. Le théorème 2.3.1 nous donne $x_1=A_1f_1$ et $x_2=A_1f_2$ tels que pour tout $x\in\H_1$, $f_1(x)=\langle x_1,x\rangle$ et $f_2(x)=\langle x_2,x\rangle$. Soit $\beta\in{\ \rlap{\raise 0.4ex \hbox{$\scriptscriptstyle \vert$}}\hskip -0.2em C}$, alors :

$$(f_1+\beta f_2)(x) = f_1(x)+\beta f_2(x)$$

$$= \langle x_1,x\rangle+\beta\langle x_2,x\rangle$$

$$= \langle x_1+\beta x_2,x\rangle$$

Ainsi $A_1( f_1+\beta f_2)=x_1+\beta x_2=A_1f_1+\beta A_1f_2$. La preuve est identique pour $A_2$. Par composition, on obtient alors

$$\begin{array}{rccl} T^*=A_1T^\times {A_2}^{-1}: & \H_2 & \longrightarrow & \H_1 \\ & y_0 & \longmapsto & x_0, \end{array}$$

selon le diagramme (2.26).

$$\xymatrix @H=0pt{ y_0 \ar[rr]^{T^*}\ar[d]^{{A_2}^{-1}} & & x_0 \\ g \ar[rr]^{T^\times} & & f \ar[u]^{A_1} }$$ (37)

D'autre part, d'après les relations (2.23) à (2.25)

$$\langle y_0,Tx \rangle=g(Tx)=f(x)=\langle x_0,x \rangle= \langle x,T^* y_0 \rangle.$$

Donc $T^*$ est bien l'opérateur Hilbert-adjoint, et le fait que $\Vert T^*\Vert=\Vert T\Vert$ provient directement des faits que $\Vert T^\times\Vert=\Vert T\Vert$ et que $A_1$ et $A_2$ soient des isométries.

La principale différence entre $T^\times$ et $T^*$ est :
$T^\times$ est défini sur l'adjoint de l'espace du but de $T$ alors que $T^*$ est défini sur l'espace lui-même.

Les principales similitudes sont :

1. Si $\alpha\in{I\!\!K}$, on a $(\alpha T)^\times=\overline{\alpha} T^\times$ et $(\alpha T)^*=\overline{\alpha} T^*$.
2. En dimension finie, $T^\times$ (resp. $T^*$) est représentée par la transposée conjuguée de la matrice représentant $T$, par rapport à des bases adjointes (resp. biorthonormales).