3 Cas Hilbertien

Théorème d'isomorphie de Riesz. 3.1
Soit $\H$ un espace de Hilbert. Toute fonctionnelle linéaire (respectivement antilinéaire) continue sur $\H$ peut être écrite en termes de produit scalaire, c'est à dire

$$f(x)=\langle x,z\rangle f(x)=\langle z,x\rangle ,$$ (28)

où $z$ dépendant de $f$ est déterminé de manière unique. De plus

$$\Vert z\Vert=\Vert f\Vert.$$ (29)

Autrement dit, les espaces $\H^*$ et $\H$ sont isomorphes et isométriques. L'application $f\in\H^*\longmapsto z\in\H$ est antilinéaire (respectivement linéaire).

Proof. [Démonstration dans le cas linéaire]  

1. Existence: Soit $x\in\H$
   Si $f$ est l'application nulle $z=0$ convient.
   Si $f$ n'est pas l'application nulle, procédons par conditions nécessaires. En premier lieu, $z\in\ker(f)$ est exclu sinon $f$ est l'application nulle. Ensuite, si $x\in\ker(f)$, on doit avoir $\langle x,z\rangle=0$ donc $z\in\ker(f)^\bot$. $\ker(f)$ est un sous-espace vectoriel fermé de $\H$ ainsi $\H=\ker(f)\oplus\ker(f)^\bot$. Comme $f$ n'est pas l'application nulle, $\ker(f)\neq\H$ et donc $\ker(f)^\bot\neq\{0\}$.

   Prenons $y\neq 0$ dans $\ker(f)^\bot$ et posons

   $$u=f(x)y-f(y)x.$$
   On a $f(u)=0$ donc $u\in\ker(f)$. Ainsi
   $$\begin{array}{rcccl} 0&=&\langle u,y\rangle&=&\langle f(y)x-f(x)y,y\rangle \\ & & & =&f(y)\langle x,y\rangle-f(x)\Vert y\Vert^2. \end{array}$$
   Comme $y\neq 0$, on a $\Vert y\Vert^2\neq 0$, donc
   

   $$f(x) = \frac{f(y)\langle x,y\rangle}{\Vert y\Vert^2}$$

   $$= \left\langle x,\frac{\overline{f(y)}y}{\Vert y\Vert^2}\right\rangle.$$

   
   
   Le choix $$z=\frac{\overline{f(y)}y}{\Vert y\Vert^2}$$ convient.

   Le cas antilinéaire se traite de la même manière en partant de $u=\overline{f(x)}y-\overline{f(y)}x$. Et on obtient à nouveau $z$, défini par la même expression.

2. Unicité.
   Supposons que $f$ ne soit pas l'application nulle et que $z\neq z'$ vérifient tous deux :
   $$f(x)=\langle x,z\rangle=\langle x,z'\rangle$$ pour tout $$x.$$
   Alors $\langle x,z-z'\rangle=0$ pour tout $x$. $f$ serait donc l'application nulle ce qui est absurde.
3. Isométrie
   L'existence et l'unicité nous fournissent le $z$ dont on parle maintenant. Ce $z$ est tel que pour tout $(y_1,y_2)\in\ker(f)^2$, on a
   $$f(x)=\left\langle x,\frac{\overline{f(y_1)}y_1}{\Vert y_1\Vert^2}... ...ngle=\left\langle x,\frac{\overline{f(y_2)}y_2}{\Vert y_2\Vert^2}\right\rangle.$$
   On peut donc prendre n'importe quel $y_1\in\ker(f)^\bot\backslash\{0\}$ et écrire
   $$z=\frac{\overline{f(y_1)}y_1}{\Vert y_1\Vert^2}$$ et donc $$\langle z,z\rangle={\left\vert f\left(\frac{y_1}{\Vert y_1\Vert}\right)\right\vert}^2,$$
   i.e. $\Vert z\Vert=\vert f(w)\vert$ où $w=y_1/\Vert y_1\Vert$ est de norme $1$. Comme ceci est vrai pour tout $y_1\in\ker(f)^\bot\backslash\{0\}$, c'est vrai aussi pour tout $w\in\ker(f)^\bot$ et de norme $1$. Comme $\H=\ker(f)\oplus\ker(f)^\bot$, on a $\Vert f_{\vert\ker(f)^\bot}\Vert=\Vert f\Vert$. Par conséquent, si $w$ de norme $1$ est dans $\ker(f)^\bot$ on a
   

   $$\Vert z\Vert = \vert f(w)\vert=\sup_{\Vert u\Vert=1}\left\{\vert f(u)\vert ; u\in\ker(f)^\bot\right\}=\sup_{\Vert u\Vert=1}\left\{\vert f(u)\vert ; u\in\H\right\}$$

   $$= \Vert f\Vert.$$

   
   
   En procédant de la même manière pour le cas antilinéaire, on montrerait aussi $\Vert z\Vert=\Vert f\Vert$.

$\qedsymbol$

Théorème de représentation de Riesz. 3.2
Soient $\H_1$ et $\H_2$ deux espaces de Hilbert et $h:\H_1\times\H_2\longrightarrow {I\!\!K}$ une forme sesquilinéaire continue. Alors il existe un unique opérateur linéaire continu $S:\H_1\longrightarrow \H_2$ tel que

$$h(x,y)=\langle Sx,y\rangle.$$ (30)

De plus $\Vert h\Vert=\Vert S\Vert$.

Proof.  
Soit $x$ fixé et considérons l'application linéaire

$$\begin{array}{rrrcl} h_x&:&\H_2 &\longrightarrow &{I\!\!K}\\ & & y &\longmapsto & \overline{h(x,y)} \end{array}$$

Le théorème 2.3.1 nous fournit un élément unique $z\in\H_2$ tel que pour tout $y\in\H_2$ on a

$$h_x(y)=\langle y,z\rangle$$

c'est à dire

$$h(x,y)=\langle z,y\rangle.$$ (31)

$z$ étant unique et dépendant de $x$, cela définit un opérateur $S:\H_1\longrightarrow \H_2$ tel que $z=Sx$. Une substitution dans (2.20) nous donne (2.19).
$S$ est linéaire :
Soient $(x_1,x_2)\in{\H_1}^2$, $\alpha\in{I\!\!K}$ et $y\in\H_2$. Alors

$$\langle S(\alpha x_1+ x_2),y\rangle-\langle \alpha Sx_1+ Sx_2,y\rangle = h(\alpha x_1+ x_2,y)-\alpha h(x_1,y)- h(x_2,y)$$

$$= 0.$$

Comme cela est vrai pour tout $y$, on a $S(\alpha x_1+ x_2)=\alpha Sx_1+ Sx_2$.
$S$ est continue :
On a

$$\Vert h\Vert=\sup_{\Vert x\Vert\neq 0,\Vert y\Vert\neq0}\frac{\ve... ...ert} =\sup_{\Vert x\Vert\neq 0}\frac{\Vert Sx\Vert}{\Vert x\Vert}=\Vert S\Vert.$$

De plus

$$\Vert h\Vert=\sup_{\Vert x\Vert\neq 0,\Vert y\Vert\neq0}\frac{\ve... ...\neq 0}\frac{\Vert Sx\Vert\Vert y\Vert}{\Vert x\Vert\Vert y\Vert}=\Vert S\Vert,$$

donc

$$\Vert h\Vert=\Vert S\Vert.$$

$S$ est unique :
Supposons qu'il existe $T:\H_1\longrightarrow \H_2$ tel que pour tout $(x,y)\in\H_1\times\H_2$ on ait

$$h(x,y)=\langle Sx,y\rangle=\langle Tx,y\rangle.$$

Fixons $x$. Alors $\langle Sx-Tx,y\rangle=0$ pour tout $y$, donc $Sx=Tx$. Comme ceci est vrai pour tout $x$, on obtient $S=T$. $\qedsymbol$

Ces deux théorèmes reposent sur le fait (non trivial) que si $M$ est un sous-espace vectoriel fermé de $\H$ alors $\H=M\oplus M^\bot$.

On va maintenant s'attacher à définir l'opérateur adjoint $T^*$ de $T$ dans le cas hilbertien. On montrera que $\Vert T^*\Vert=\Vert T\Vert$ et ce, sans avoir recours au théorème de Hahn-Banach, comme il fût nécessaire pour le cas non-hilbertien.

On a vu précédemment que si $h:\H_1\times\H_2\longrightarrow {I\!\!K}$ est une forme sesquilinéaire hermitienne, alors le théorème 2.3.2 nous fournit un opérateur $T:\H_1\longrightarrow \H_2$, tel que pour tout $(x,y)\in\H_1\times\H_2$ on ait

$$h(x,y)=\langle Tx,y\rangle$$ et $$\Vert T\Vert=\Vert h\Vert.$$

Posons

$$\begin{array}{rccl} g:& \H_2\times\H_1 & \longrightarrow & {I\!\!K}\\ & (y,x)& \longmapsto & \overline{h(x,y)} \end{array}$$

où $h$ est sesquilinéaire hermitienne sur $\H_1\times\H_2$. Ainsi $g$ est sesquilinéaire hermitienne sur $\H_2\times\H_1$ et $\Vert h\Vert=\Vert g\Vert$. On applique le théorème 2.3.2 à $g$ et cela nous fournit un opérateur linéaire unique $S:\H_2\longrightarrow \H_1$ tel que

$$g(y,x)=\langle Sy,x\rangle$$ et $$\Vert S\Vert=\Vert g\Vert.$$

On a ainsi obtenu :

$$h(x,y)=\langle Tx,y\rangle=\overline{g(y,x)}=\overline{\langle Sy,x\rangle}=\langle x,Sy\rangle.$$

L'opérateur $S$ ainsi défini est appelé opérateur adjoint de $T$ et on le note $T^*$.

Définition. 3.3
Si $T:\H_1\longrightarrow \H_2$ est un opérateur linéaire continu entre espaces de Hilbert alors il existe un unique opérateur linéaire continu $T^*:\H_2\longrightarrow \H_1$ tel que pour tout $(x,y)\in\H_1\times\H_2$

$$\langle Tx,y\rangle=\langle x,T^* y\rangle.$$ (32)

De plus

$$\Vert T\Vert=\Vert T^*\Vert.$$