2 Théorèmes de Hahn-Banach

Le théorème de Hahn-Banach fut proposé en $1927$ par Hans Hahn, puis redécouvert dans sa forme actuelle, plus générale par Stefan Banach en $1929$ et généralisé aux espaces vectoriels complexes par Bohnenblust et Sobczyk en 1938.

Théorème. 2.1 (Prolongement des fonctionnelles linéaires)
Soit $\mathcal{X}$ un ${ I\!\!R}$-espace-vectoriel et $p$ une fonctionnelle sous-linéaire sur $\mathcal{X}$. $\mathcal{Y}$ est un sous-espace-vectoriel de $\mathcal{X}$ et $f$ une fonctionnelle linéaire définie sur $\mathcal{Y}$ telle que :

$$\forall x\in \mathcal{Y}, f(x)\leq p(x).$$

Alors il existe $\widetilde{f}$ linéaire, prolongeant $f$ à $\mathcal{X}$, vérifiant :

$$\forall x\in \mathcal{X}, \widetilde{f}(x)\leq p(x).$$ (1)

Le point essentiel est de montrer que l'on peut prolonger à une dimension de plus: Si $f$ est linéaire et définie sur $\mathcal{Z}$ sous-espace-vectoriel de $\mathcal{X}$, de façon à ce que $f(x)\leq p(x)$ pour tout $x\in\mathcal{Z}$, et si pour $x \notin\mathcal{Z}$ on peut prolonger $f$ en $\widetilde{f}$ définie sur $\mathcal{Z}+{ I\!\!R}x$ et vérifiant $\widetilde{f}\leq p$, alors le reste de la preuve sera constitué de la mise en place d'une application du lemme de Zorn. On commence donc par le

Lemme. 2.2
Soit $\mathcal{Z}$ un sous-espace vectoriel du ${ I\!\!R}$-espace vectoriel $\mathcal{X}$, $g$ une forme linéaire définie sur $\mathcal{Z}$ telle que :

$$\forall z\in\mathcal{Z}\quad g(z)\leq p(z).$$

Soit $x \notin\mathcal{Z}$. Alors il existe une forme linéaire $\widetilde{g}$ sur $\mathcal{Z}+{ I\!\!R}x$ telle que $\widetilde{g}$ prolonge $g$ et $\widetilde{g}\leq p$ sur $\mathcal{Z}+{ I\!\!R}x$.

Proof. [Démonstration du lemme]  
Prolonger $g$ demande seulement de définir

$$m=\widetilde{g}(x).$$

Ce prolongement doit vérifier :

$$\forall(t,z)\in({ I\!\!R}\times\mathcal{Z}),\quad \widetilde{g}(z+tx)=g(z)+t\widetilde{g}(x)\leq p(z+tx).$$

Si $t=0$ cette inégalité est verifiée par hypothèse. Si $t\neq 0$ on découpe la propriété en deux. Soit $u$ et $v$ deux réels positifs :

$$g(z)+um \leq p(z+ux)$$ (2)

$$g(z)-vm \leq p(z-vx)$$ (3)

$$(\ref{eq1lem}) \Longleftrightarrow u\left(\frac{1}{u}g(z)+m\right) \leq p\left(\left(\frac{z}{u}+x\right)u\right)$$

$$(\ref{eq1lem}) \Longleftrightarrow u\left(g\left(\frac{z}{u}\right)+m\right) \leq u p\left(\left(\frac{z}{u}+x\right)\right)$$

On pose $z_1=z/u$. On obtient alors :

$$g(z_1)+m\leq p(z_1+x).$$

De la même manière en posant $z_2=z/v$, on obtient :

$$g(z_2)-m\leq p(z_2-x).$$

Ainsi :

$$\forall(z_1,z_2)\in\mathcal{Z}^2,\quad g(z_2)-p(z_2-x)\leq m \leq p(z_1+x)-g(z_1).$$

Donc :

$$\underbrace{\sup\left\{g(z_2)-p(z_2-x):z_2\in\mathcal{Z}\right\}}... ...leq m \leq \underbrace{\inf\left\{p(z_1+x)-g(z_1):z_1\in\mathcal{Z}\right\}}_I.$$

On a $I\neq +\infty$ car l'$\inf$ porte sur un ensemble non vide de valeurs finies. Idem pour $S\neq -\infty$. Il suffira donc de prendre pour $m$ n'importe quel réel de $[S;I]$. Il reste maintenant à vérifier que :

$$\forall(z_1,z_2)\in\mathcal{Z}^2,\quad g(z_2)-p(z_2-x)\leq p(z_1+x)-g(z_1),$$

ce qui équivaut à :

$$g(z_1+z_2)\leq p(z_1+x)+p(z_2-x).$$ (4)

Or par hypothèse $g(z_1+z_2)\leq p(z_1+z_2)$. Et comme $p$ est une fonctionnelle sous-linéaire, on a l'inégalité :

$$p(z_1+z_2)=p(z_1+x+z_2-x)\leq p(z_1+x)+p(z_2-x).$$

Donc (1.4) est vérifiée. $\qedsymbol$

Proof. [Démonstration du théorème 1.2.1] Soit $\Phi$ l'ensemble des sous-espaces vectoriels $\Gamma\subset\mathcal{X}\times{ I\!\!R}$ qui sont le graphe d'une forme linéaire $g$ définie sur un sous-espace vectoriel $\mathcal{Z}$ (variable) de $\mathcal{X}$ contenant $\mathcal{Y}$, où la restriction de $g$ à $\mathcal{Y}$ est $f$, et où de plus $g\leq p$ On a alors :

$$\Gamma =\left\{(z,t):z\in\mathcal{Z},\ t=g(z)\right\}.$$

$\Gamma$ contient $\Gamma_0=\{(y,f(y)):y\in\mathcal{Y}\}$ (ce qui signifie que $g$ prolonge $f$), et

$$(z,t)\in\Gamma\Longrightarrow t\leq p(z).$$

Munissons $\Phi$ de la relation d'ordre $\prec$ d'inclusion des sous-espaces de $\mathcal{X}\times{ I\!\!R}$.

L'ordre $\prec$ est inductif : Si $\{\Gamma_i; i\in\mathcal{I}\}$ est une famille totalement ordonnée de $\Phi$. Alors

$$\Gamma=\bigcup_{i\in\mathcal{I}}\Gamma_i$$

est un sous-espace vectoriel. En effet Si $i$ et $j$ sont dans $\mathcal{I}$ avec $i\neq j$, on a $\Gamma_i\subset\Gamma_j$ ou bien $\Gamma_j\subset\Gamma_i$ car $\Gamma_i$ et $\Gamma_j$ appartiennent à une famille totalement ordonnée de $\Phi$. Donc $\Gamma_i\cup\Gamma_j$ est un sous-espace vectoriel. $\Gamma$ est le graphe d'une forme linéaire $g$ définie sur le sous-espace vectoriel

$$\mathcal{Z}_\Gamma=\left\{z\in\mathcal{X}: \exists t\in{ I\!\!R},\ (z,t)\in\Gamma\right\}.$$

Cette $g$ prolonge $f$ et $g\leq p$. Ainsi $\Gamma\in\Phi$. De plus $\Gamma$ majore tous les $\Gamma_i$. Ainsi l'ordre sur $\Phi$ est inductif.

Application du lemme de Zorn : Soit $\Gamma\in\Phi$ un élément maximal, et $\mathcal{Z}=\mathcal{Z}_\Gamma$ le sous-espace associé. Montrons que $\mathcal{Z}=\mathcal{X}$. Pour cela supposons que $\mathcal{Z}\neq\mathcal{X}$, il existe alors un vecteur $x \notin\mathcal{Z}$ donc $\mathcal{Z}=\mathcal{Z}+{ I\!\!R}x$ et le lemme 1.2.2 donne une extension convenable $(\mathcal{Z}+{ I\!\!R}x,\widetilde{g})$, ce qui contredit la maximalité de $\Gamma$. Ainsi $\mathcal{Z}=\mathcal{X}$ ce qui démontre le théorème. $\qedsymbol$

Tous les énoncés qui suivent sont écris en termes de fonctionnelles linéaires. Néanmoins, ils restent valables aussi pour des fonctionnelles antilinéaires⁵, lorsque l'espace vectoriel est sur ${\ \rlap{\raise 0.4ex \hbox{$\scriptscriptstyle \vert$}}\hskip -0.2em C}$.

Théorème. 2.3 (Généralisation au cas complexe)
Soit $\mathcal{X}$ un ${I\!\!K}$-espace vectoriel avec ${I\!\!K}={ I\!\!R}$ ou ${\ \rlap{\raise 0.4ex \hbox{$\scriptscriptstyle \vert$}}\hskip -0.2em C}$. L'application $p:\mathcal{X}\longrightarrow { I\!\!R}$ est sous-linéaire. $\mathcal{Z}$ est un sous-espace-vectoriel de $\mathcal{X}$ et $f$ une fonctionnelle linéaire définie sur $\mathcal{Z}$ telle que :

$$\forall x\in \mathcal{Z}\qquad \vert f(x)\vert\leq p(x).$$ (5)

Alors il existe $\widetilde{f}$ linéaire, prolongeant $f$ à $\mathcal{X}$, vérifiant :

$$\forall x\in \mathcal{X}\qquad \vert\widetilde{f}(x)\vert\leq p(x)$$ (6)

Proof.  
Si ${I\!\!K}={ I\!\!R}$, on a $f(x)\leq p(x)$ pour tout $x\in\mathcal{Z}$ d'après (1.5). D'après le théorème 1.2.1 il existe un prolongement à $\mathcal{X}$ de $f$ que l'on note $\widetilde{f}$, vérifiant

$$\forall x\in \mathcal{X}, \widetilde{f}(x)\leq p(x).$$ (7)

Combinant (1.7) et le fait que $p$ soit positivement homogène, on obtient

$$-\widetilde{f}(x)=\widetilde{f}(-x)\leq p(-x)=\vert-1\vert p(x)=p(x),$$

ce qui donne (1.6).

Si ${I\!\!K}={\ \rlap{\raise 0.4ex \hbox{$\scriptscriptstyle \vert$}}\hskip -0.2em C}$, $\mathcal{Z}$ est aussi un espace vectoriel complexe et on va commencer par les considérer tous deux comme des espaces vectoriels réels en parlant des parties réelles et imaginaires des fonctionnelles considérées et en se restreignant à des scalaires réels. On note $\mathcal{X}_{ I\!\!R}$ et $\mathcal{Z}_{ I\!\!R}$ les espaces $\mathcal{X}$ et $\mathcal{Z}$ vus ainsi. On écrit donc

$$f(x)=f_R(x)+if_I(x),$$

où $f_R$ et $f_I$ sont à valeurs réelles. La linéarité de $f$ sur $\mathcal{Z}$ donne immédiatement celles de $f_R$ et $f_I$ sur $\mathcal{Z}_{ I\!\!R}$. Il est clair que $f_R(x)\leq \vert f(x)\vert$ et donc avec (1.5) on obtient $f_R(x)\leq p(x)$ pour tout $x\in\mathcal{Z}_{ I\!\!R}$. Il existe donc d'après le théorème 1.2.1 un prolongement linéaire $\widetilde{f_R}$ de $f_R$ à $\mathcal{X}_{ I\!\!R}$. vérifiant

$$\widetilde{f_R}(x)\leq p(x) x\in\mathcal{X}_{ I\!\!R}.$$ (8)

Le même raisonnement donne un prolongement $\widetilde{f_I}$ de $f_I$ à $\mathcal{X}_{ I\!\!R}$. Retournons sur $\mathcal{Z}$ où l'on a $f=f_R+if_I$. Alors pour tout $x\in\mathcal{Z}$, on a

$$i[f_R(x)+if_I(x)]=if(x)=f(ix)=f_R(ix)+if_I(ix).$$

Les parties réelles devant être égales entre elles, on obtient

$$-f_I(x)=f_R(ix) x\in\mathcal{Z}.$$ (9)

Par conséquent, on pose pour tout $x\in\mathcal{X}$

$$\widetilde{f}(x):=\widetilde{f_R}(x)-i\widetilde{f_R}(ix).$$ (10)

D'après la relation (1.9), il est clair que $\widetilde{f_{\vert Z}}=f$.

Le prolongement défini par (1.10) est linéaire.
Soit $\alpha=a+ib$ un complexe de partie réelle $a$ et de partie imaginaire $b$. Alors

$$\widetilde{f}((a+ib)x) = \widetilde{f_R}(ax+ibx)-i\widetilde{f_R}(iax-bx)$$

$$= a\widetilde{f_R}(x)+b\widetilde{f_R}(ix)-ia\widetilde{f_R}(ix)+ib\widetilde{f_R}(x)$$

$$= (a+ib)\widetilde{f_R}(x)-i(a+ib)\widetilde{f_R}(ix)$$

$$= (a+ib)(\widetilde{f_R}(x)-i\widetilde{f_R}(ix))$$

$$= (a+ib)\widetilde{f}(x).$$

$\widetilde{f}$ vérifie (1.6).
Si $x$ est tel que $\widetilde{f}(x)=0$ alors (1.6) est vérifiée car $p$ est une semi-norme ⁶. Soit $x$ tel que $\widetilde{f}(x)\neq 0$ , alors

$$\widetilde{f}(x)=\vert\widetilde{f}(x)\vert e^{i\theta}.$$

Donc

$$\vert\widetilde{f}(x)\vert=e^{-i\theta}\widetilde{f}(x)=\widetilde{f}(e^{-i\theta}x).$$

Comme $\vert\widetilde{f}(x)\vert$ est réel on obtient en utlisant (1.10) et le fait que $p$ est positivement homogène,

$$\widetilde{f}(e^{-i\theta}x)=\widetilde{f_R}(e^{-i\theta}x)\leq p(e^{-i\theta}x)=p(x).$$

$\qedsymbol$

Théorème. 2.4 (Le prolongement conserve la norme)
$\mathcal{Z}$ est un sous-espace vectoriel du ${I\!\!K}$-espace vectoriel $\mathcal{X}$ et $f$ une fonctionnelle linéaire définie sur $\mathcal{Z}$. Alors il existe $\widetilde{f}$ prolongeant $f$ à $\mathcal{X}$ et de même norme. Ces normes étant définie par :

$$\Vert\widetilde{f}\Vert = \sup_{\substack{x\;\in\;\mathcal{X}\\ \Vert x\Vert=1}} \vert\widetilde{f}(x)\vert,$$

$$\Vert f\Vert _{\mathcal{Z}'} = \sup_{\substack{x\in\mathcal{Z}\\ \Vert x\Vert=1}} \vert f(x)\vert.$$

Proof. Si $\mathcal{Z}=\{0\}$ alors $f$ est nulle, on la prolonge par l'application nulle. Si $\mathcal{Z}\neq\{0\}$ alors pour tout $x\in\mathcal{Z}$ on a

$$\vert f(x)\vert\leq \Vert f\Vert\Vert x\Vert.$$

Et la fonctionnelle $p$ du théorème 1.2.3 est définie par

$$p(x)=\Vert f\Vert\Vert x\Vert.$$

Donc il existe $\widetilde{f}$ définie sur $\mathcal{X}$ vérifiant pour tout $x\in\mathcal{X}$

$$\vert\widetilde{f}(x)\vert\leq \Vert f\Vert\Vert x\Vert.$$

En prenant le $\sup$ pour tout $x$ de norme $1$, on obtient

$$\Vert\widetilde{f}\Vert=\sup_{\substack{x\; \in\; \mathcal{X}\\ \Vert x\Vert=1}}\vert\widetilde{f}(x)\vert\leq \Vert f\Vert _{\mathcal{Z}'}.$$

D'autre part, puisque $\mathcal{Z}\subset\mathcal{X}$, l'inégalité $\Vert f\Vert\leq\Vert\widetilde{f}\Vert$ est aussi vérifiée. $\qedsymbol$

Le théorème qui suit possède un corollaire intéressant permettant de séparer les point de l'espace $\mathcal{X}$, ce qui signifie que si $x$ et $y$ sont différents, il existe une fonctionnelle linéaire $f$ envoyant $x$ et $y$ sur des points différents.

Théorème. 2.5 (Fonctionnelles linéaires bornées)
$\mathcal{X}$ est un espace vectoriel normé et $x_0\in\mathcal{X}\backslash\{0\}$. Alors il existe une fonctionnelle linéaire $\widetilde{f}$ définie sur $\mathcal{X}$ telle que :

$$\Vert\widetilde{f}\Vert=1$$   et$$\quad \widetilde{f}(x_0)=\Vert x_0\Vert.$$

Proof.

$$f:{\rm vect}(\{x_0\}) \longrightarrow {\ \rlap{\raise 0.4ex \hbox{$\scriptscriptstyle \vert$}}\hskip -0.2em C}$$

$$x=\alpha x_0 \longmapsto \alpha\Vert x_0\Vert.$$

Cette application est de norme $1$ et d'après le théorème 1.2.4, il existe une fonctionnelle linéaire $\widetilde{f}$ prolongeant $f$ à $\mathcal{X}$, de même norme. De plus $\widetilde{f}(x_0)=f(x_0)=\Vert x_0\Vert$. $\qedsymbol$

Corollaire. 2.6
Soit $\mathcal{X}$ un espace vectoriel normé. Alors :

$$\forall x\in\mathcal{X}\quad \Vert x\Vert=\sup_{\substack{f\;\in\;\mathcal{X}' \\ f\;\neq\;0}}\frac{\vert f(x)\vert}{\Vert f\Vert}.$$

De plus, si $f(x_0)=0$ pour toute fonctionnelle linéaire $f$, définie sur $\mathcal{X}$, alors $x_0=0$.

Proof.  
Soit $x\in\mathcal{X}\backslash\{0\}$, alors d'après le théorème précédent

$$\sup_{f\neq 0}\frac{\vert f(x)\vert}{\Vert f\Vert}\geq \frac{\ver... ...ilde{f}(x)\vert}{\Vert\widetilde{f}\Vert} =\frac{\Vert x\Vert}{1}=\Vert x\Vert.$$

Et de l'inégalité $\vert f(x)\vert\leq \Vert f\Vert\Vert x\Vert$, on a

$$\sup_{f\neq 0}\frac{\vert f(x)\vert}{\Vert f\Vert} \leq \Vert x\Vert.$$

$\qedsymbol$