1 Le lemme de Zorn

Définition. 1.1
Un ensemble partiellement ordonné est un ensemble $M$ muni d' une relation d'ordre partiel $\leq$ vérifiant pour tout $a,b,c$ dans $M$

i)	$a\leq a$	Réflexivité
	math
ii)	$a\leq b$    et $b\leq a \Longrightarrow a=b$	Antisymmétrie
	math
iii)	$a\leq b$    et $b\leq c \Longrightarrow a\leq c$	Transitivité

Le mot ``partiellement'' signifie que deux éléments quelconques ne sont pas nécéssairement comparables.

Un ensemble totalement ordonné ou chaîne est un ensemble $N$ où deux éléments quelconques sont toujours comparables.

Une borne supérieure d'un sous-ensemble $W$ d'un ensemble partiellement ordonné $M$ est un élément $u\in M$ tel que

$$\forall x \in W,\: x \leq u.$$

Un élément maximal de $M$ est un élément $m\in M$ tel que :

$$\forall x\in M, m\leq x \Longrightarrow x=m.$$

Lemme de Zorn. 1.2
Soit $M\neq \emptyset$ un ensemble partiellement ordonné tel que tout sous-ensemble $N$ de $M$, constituant une chaîne, admet une borne supérieure. Alors $M$ admet un élément maximal.

Application. 1.3 (Théorème)
Tout espace vectoriel $\mathcal{X}$ non réduit à $\{0\}$ admet une base.

Proof.  
Soit $M$ l'ensemble de tous les sous-ensembles linéairement indépendants³ inclus dans $\mathcal{X}$. Comme $\mathcal{X}\neq \{0\}$, il existe $x\neq 0$ et $\{x\}\in M$. Ainsi $M\neq \emptyset$. L'inclusion définit ici une relation d'ordre partiel sur $M$. De plus, toute chaîne $C\subset M$ admet une borne supérieure : l'union de tous les sous-ensembles de $\mathcal{X}$ qui sont éléments de $C$. Par le lemme de Zorn, $M$ admet un élément maximal $B$.
Montrons que $B$ est une base pour $\mathcal{X}$. Soit $\mathcal{Y}=$vect$(B)$. $\mathcal{Y}$ est un sous-espace de $\mathcal{X}$, de plus $\mathcal{Y}=\mathcal{X}$ :
Sinon $B\bigcup\{z\},\ z\in\mathcal{X}\backslash\mathcal{Y}$ serait un ensemble linéairement indépendant contenant le sous-ensemble $B$, ce qui contredirait la maximalité de $B$. $\qedsymbol$

Application. 1.4 (Théorème)
Dans tout espace de Hilbert $\H$ non réduit à $\{0\}$, il existe un ensemble orthonormé total ⁴.

Proof.  
Soit $M$ l'ensemble de tous les sous-ensembles orthonormés de $\H$. Comme $\H$ n'est pas réduit à $\{0\}$, il existe $x\neq 0$, et un sous -ensemble orthonormé de $\H$ est l'ensemble $\{y\}$ où $y=\Vert x\Vert^{-1}x$. Ainsi $M\neq \emptyset$. L'ordre défini par l'inclusion induit un ordre partiel sur $M$ et toute chaîne $C\subset M$ admet une borne supérieure : l'union de tous les sous-ensembles de $\mathcal{X}$ qui sont éléments de $C$. Par le lemme de Zorn, $M$ admet un élément maximal $F$.
Montrons que $F$ est complet dans $\H$: Supposons que cela soit faux. Par le théorème de totalité démontré en Annexe, il existe un élément non nul $z\in \H$ tel que $z\perp F$. Ainsi $F_1=F\bigcup \{e\}$, où $e=\Vert z\Vert^{-1}z$ est orthonormal, et $F$ est strictement inclus dans $F_1$. Ce qui contredit la maximalité de $F$. $\qedsymbol$

Définition. 1.5 (Fonctionnelle sous-linéaire)
$p:\mathcal{X}\longrightarrow { I\!\!R}$ est dite sous-additive si $p(x+y)\leq p(x)+p(y)$ pour tout $x,y$ dans $\mathcal{X}$.
$p$ est dite positivement homogène $p(\alpha x)=\vert\alpha\vert p(x)$ pour $\alpha\in{\ \rlap{\raise 0.4ex \hbox{$\scriptscriptstyle \vert$}}\hskip -0.2em C}$ et $x\in\mathcal{X}$.
Si $p$ est sous-additive et positivement homogène, elle est dite sous-linéaire.