1 Biographie de Stefan Banach

Figure 1: Stefan Banach

l.33

Stefan Banach est né le 30 mars 1892 à Kraków en Autriche-Hongrie. Son père s'appelait Stefan Greczek et sa mère Katarzyna Banach. Elle s'évanouit dans la nature quatre jours après sa naissance sans laisser de traces.
On ne connaît rien de plus à son propos. Plus tard Banach la rechercha mais son père refusa de lui dire quoi que ce soit, mis à part le fait qu'il avait juré de ne rien dévoiler de sa véritable identité. Certains pensent qu'elle était en fait la servante de sa mère, d'autres, sa nourrice. Stefan Greczek est né dans un petit village nommé Ostrowsko, à $50km$ au sud de Kraków. C'est ici, dans la maison de sa grand-mère que Banach fut amené après son baptême. Lorsque celle-ci tomba malade, Stefan Greczek fit en sorte que Banach soit recueilli par Franciszka Plowa, laquelle habitait Kraków avec sa soeur Maria. Le tuteur de Maria était un intellectuel français du nom de Julius Mien, et il reconnut très tôt les talents que Banach possédait. Mien lui apprit le français et lui donna en général le goût pour les études.

Banach alla à l'école primaire de Kraków, qu'il quitta en 1902, pour rejoindre le Henryk Sienkiewicz Gymnasium No 4 de son lieu de naissance. Un des camarades de classe de Banach, Witold Wilkosz, deviendra lui aussi professeur de mathématiques. L'école ne semblait pas particulièrement excellente et en 1906, Wilkosz la quittera pour une meilleure. Banach restera au Henryk Sienkiewicz Gymnasium tout en gardant contact avec Wilkosz. Durant ses toutes premières années au gymnasium, Banach achève son diplôme de premier échelon avec, pour points forts, les mathématiques et les sciences naturelles. Un camarade de l'époque de Banach se rappelle :
``Banach était quelqu'un d'agréable à fréquenter, mais en dehors des mathématiques, rien ne l'intéressait. Lorsqu'il s'exprimait, il parlait extrêmement rapidement, aussi rapidement qu'il pensait mathématiquement...Wilkosz était un phénomène similaire. Entre eux deux, tout problème mathématique était sujet à discussion. Alors que Banach était extrêmement rapide dans la résolution des problèmes mathématiques, Wilkosz l'était dans les problèmes de physique, laquelle semblait sans intérêt pour Banach''.
Ses excellents résultats dans les premières années ont laissé place à de moins brillants dans les dernières. Il passa son examen final en 1910 mais ne l'eût pas avec les honneurs ce qui était pourtant le cas du quart des étudiants. Banach et Wilkosz souhaitaient tous deux ensuite étudier les mathématiques mais étaient persuadés que rien de nouveau ne pouvait être découvert. Il choisirent donc de travailler sur un tout autre sujet. Banach étudia l'ingénierie tandis que Wilkosz, les langues orientales. Que deux futurs exceptionnels mathématiciens aient pu prendre cette décision pour une telle raison signifie qu'il n'y avait personne pour les informer correctement.

Le père de Banach ne lui apporta jamais beaucoup de soutien, mais maintenant qu'il avait quitté l'école son père lui dit qu'à partir de ce jour il devrait se débrouiller seul. Banach quitta donc Kraków pour se rendre à Lvov, en Ukraine, où il rentra à la Faculté d'ingénierie à l'Université Technique. Il est quasi certain que Banach sans aucun support financier ait du donner des cours particuliers pour se financer. Ceci devait sans doute lui prendre un temps considérable et quand il fut diplômé en $1914$ il lui avait fallu plus longtemps que la normale. Il retournait fréquemment à Kraków durant cette période de 1910 à 1914. Ce qu'étaient à l'époque, les plans de Banach n'est pas clair, mais l'éclatement de la seconde guerre mondiale le contraint à quitter Lvov.

Figure 2: Zaremba

l.33

Pendant que Banach étudiait, Lvov était sous contrôle autrichien comme c'était le cas depuis le partage de la Pologne en 1772. La Pologne ne s'en était toujours pas remise car la Russie contrôlait toujours la majeure partie de son territoire. Il n'y avait à Varsovie qu'une seule université, en langue russe. Avec la première guerre mondiale, les troupes russes occupèrent la ville de Lvov. Banach n'était pas physiquement apte au service militaire, à cause d'une mauvaise vue de l'oeil gauche. Durant la guerre il travailla à construire des routes mais passa aussi du temps à Kraków pour enseigner dans les écoles. Il suivait aussi les lectures mathématiques à la Jagiellonian University de Kraków, et même si cela n'est pas complètement certain, certains pensent qu'il suivait en particulier celles de Zaremba¹.

Figure 3: Hugo Steinhaus

l.33

Un évènement chanceux survint dans la vie de Banach, au printemps $1916$ lorsqu'il rencontre Steinhaus². Il était sur le point de prendre poste à l'Université Jan Kazimierz à Lvov. En attendant, il vivait à Kraków. Il relate dans ses mémoires : ``Durant une promenade j'ai entendu, par hasard, chuchoter les mots ``Mesure de Lebesgue''. Je me suis approché de la barrière du parc et me suis présenté aux deux jeunes mathématiciens apprentis. Ils me dirent qu'ils avaient un autre compagnon, Witold Wilkosz, dont ils faisaient de grandes éloges. Les jeunes étaient Stefan Banach et Otto Nikodim. Par suite, nous nous sommes rencontrés régulièrement et avons décidé de fonder une société mathématique''.

Steinhaus discuta avec Banach d'un problème sur lequel il travaillait sans succès. Après quelques jours Banach tenait l'idée principale pour le contre-exemple requis. Du coup ils écrivirent un papier commun qu'ils présentèrent à Zaremba pour publication. La guerre retarda la publication, mais le papier, le premier de Banach, apparût tout de même dans le Bulletin de l'académie de Kraków en $1918$. Depuis le jour où il a produisit ses premiers résultats avec Steinhaus, Banach commença à enchaîner de nombreuses publications. C'est aussi grâce à Steinhaus que Banach rencontra sa future femme Lucja Braus. Ils se marièrent à Zakopane en $1920$.

Sur l'initiative de Steinhaus, la Société Mathématique de Kraków fut prête en $1919$. Zaremba dirigea le meeting inaugural et fut élu premier Président de la Société. Banach donna des conférences à la société deux fois durant l'année $1919$ et continuait à faire des publications au top de la recherche de l'époque. La société mathématique de Kraków allait devenir la Société Mathématique Polonaise en $1920$.

Lomnicki proposa à Banach une place d'assistant à l'Université Technique de Lvov en $1920$. Il donnait là-bas des conférences en mathématiques et fit sa thèse de doctorat sous la supervision de Lomnicki. Ce n'était bien sûr pas la voie habituelle pour un doctorat, Banach n'ayant aucun diplôme universitaire en mathématiques. Quoi qu'il en soit, exception fut faite afin qu'il soutienne sa thèse. Le titre de sa thèse était : Sur les Opérations sur les Ensembles Abstraits et leurs Applications aux Equations Intégrales. Il est parfois dit que cette thèse marque le début de l'analyse fonctionnelle.

En $1922$, l'Université Jan Kazimierz de Lvov récompensa Banach de son habilitation pour une thèse en théorie de la mesure. En $1924$ il est promu Professeur, et passe l'année académique 1924-25 à Paris. Pendant qu'il continuait avec un flux continu à faire des publications, il écrivit de nombreux textes en arithmétique, géométrie et algèbre pour les hautes écoles. En $1929$, il commença avec Steinhaus, un nouveau journal, Studia Mathematica, dont ils devinrent les premiers éditeurs. La politique éditoriale se résumait à : ``Faire le point sur la recherche en analyse fonctionnelle et sujets en rapport''. Une autre entreprise importante de publications démarra en 1931, avec une nouvelle série de monographies mathématiques. Elles étaient mises au point sous la direction éditoriale de Steinhaus depuis Knaster, Banach depuis Lvov et Kuratowski, Mazurkiewicz et Sierpinski depuis Warsaw. Le premier volume de la série Théorie des opérations linéaires fut écrit par Banach et apparu en $1932$. Il s'agissait de la version française d'un volume originellement publié en polonais en $1931$. Il devint rapidement un classique. En $1936$ il donna une conférence au Congrès International des Mathématiciens à Oslo. Il y décrivit le travail de l'école de Lvov, il discuta en particulier de la route à suivre dans le développement leur idées.

Une autre influence importante sur Banach fut la présence de Kuratowski à l'Université Technique de Lvov en $1927$ où il travailla jusqu'en $1934$. Banach collabora avec Kuratowski et ils écrivirent plusieurs publications conjointes.

La façon dont Banach travaillait était quelque peu hors normes. Il préférait faire des mathématiques avec ses collègues dans les cafés de Lvov. Ulam se rappelle de fréquentes sessions dans le Scottish Café: ``Il était difficile de déconcentrer Banach durant ces moments. Nous discutions des problèmes proposés, souvent sans parvenir les résoudre, même après plusieurs heures de réflexion. Le jour suivant Banach arrivait souvent avec plusieurs petits bouts de papier contenant des bribes de preuves qu'il avait écrites''.

Andrzej Turowicz, aussi professeur de mathématiques à l'Université Kazimierz de Lvov, décrit le style du travail de Banach: ``Banach passait la plupart de son temps dans les cafés, non seulement en compagnie des autres mais aussi avec lui-même. Il aimait le bruit et la musique. Personne ne pouvait l'empêcher de se concentrer et de réfléchir. Parfois, après que les comptoirs aient fermés pour la nuit, il marchait près de la gare, où la cafétéria était continuellement ouverte. Là, avec un verre de bière, il cogitait sur ses problèmes''.

En $1939$, juste avant le début de la seconde guerre mondiale, Banach fut élu Président de la Société Mathématique Polonaise. Au commencement de la guerre, les troupes soviétiques occupaient Lvov. Banach avait été en bon termes avec les mathématiciens soviétiques avant que la guerre commence, allant à Moscou plusieurs fois, et il était bien traité par la nouvelle administration. Il a été autorisé à conserver sa chaire à l'université et devint Doyen de la faculté des Sciences à l'université, maintenant rebaptisée Université Ivan Franko. Le père de Banach vint à Lvov, fuyant les troupes germaniques qui avançaient en direction de Kraków. A ce moment la vie de Banach fut un peu bouleversée, mais il continuait à faire ses recherches, écrire son livre, lire et faire des sessions dans les cafés. Sobolev et Aleksandrov visitèrent Banach à Lvov en $1940$, alors que Banach était attendu comme conférencier en Union Soviétique. Il était à Kiev quand l'Allemagne a envahi l'Union Soviétique et il retourna immédiatement auprès de sa famille à Lvov.

L'occupation de Lvov par les nazis en juin $1941$ rendit pénible les conditions de vie de Banach. Il fut arrêté en raison de soupçons de trafic de monnaie germanique mais il fut relâché quelques semaines après. Il survécut à une période où des académiciens polonais furent assassinés. Lomnicki mourut dans la nuit tragique du $3$ juillet 1941 où plusieurs massacres furent perpétrés. Vers la fin de l'année $1941$ Banach travaillait dans un institut allemand où il était alimenté avec de la nourriture avariée se battant contre les maladies infectieuses. La nourriture gâtée fut son pain quotidien pendant l'occupation allemande jusqu'en juillet $1944$. Dès que les troupes soviétiques reprirent la ville de Lvov, Banach renoua ses contacts. Il rencontra Sobolev à l'extérieur de Moscou mais il était à ce moment extrêmement malade. Sobolev lors d'une conférence mémoriale en l'honneur de Banach, dit de cette rencontre : ``En dépit des lourdes traces de la guerre sous l'occupation allemande, en dépit de la grave maladie qui lui coupait ses forces, son regard semblait toujours aussi vif. Il était resté le même être sociable, charitable, bien intentionné et charmant que j'avais vu à Lvov avant la guerre. C'est pourquoi, il reste dans ma mémoire, avec un grand sens de l'humour, un être humain rayonnant, avec une âme magnifique et un grand talent''.

Banach avait planifié d'aller à Kraków après la guerre pour prendre place à la chaire de Mathématiques et à l'Université Jagiellonian mais il mourut à Lvov en 1945 d'un cancer du poumon.

Banach a fondé l'analyse fonctionnelle moderne et a produit des résultats majeurs en théorie des espaces vectoriels topologiques. De plus il a contribué à la théorie de la mesure, la théorie de l'intégration, la théorie des ensembles, et sur les séries orthogonales.

Dans sa dissertation écrite en 1920, il définit axiomatiquement ce qu'est aujourd'hui appelé, un espace de Banach. L'idée fut introduite par d'autres à la même période. Par exemple Wiener introduisit la notion mais ne dévelopa pas la théorie. Le nom espace de Banach fut inventé par Fréchet comme celui algèbre de Banach.

Banach a développé une théorie systématique de l'analyse fonctionnelle, où il n'y avait auparavant que des résultats isolés. Ils s'insèrent maintenant dans la nouvelle théorie. Comme théorèmes les plus importants, on peut citer le théorème de Hahn-Banach sur le prolongement des formes linéaires continues, le théorème de Banach-Steinhaus sur les familles d'applications bornées, le théorème de Banach-Alaoglu, le théorème du point fixe de Banach et le paradoxe de Banach-Tarski sur la décomposition d'une boule.